欧拉公式

欧拉公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ ，当 $\theta =\pi$ 时，$e^{i\pi }+1=0$.

证明一：求导

设 $f(\theta )=\frac{e^i\theta }{i\sin \theta +\cos \theta }$ ,对 $f(\theta )$ 求一阶导，

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(\theta )& =\frac{i{e}^{i\theta }(i\sin \theta +\cos \theta )-e^{i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )}{(i\sin \theta +\cos \theta {)}^2}\\ & =\frac{-e^{i\theta }\sin \theta +i{e}^{i\theta }\cos \theta -i{e}^{i\theta }\cos \theta +e^{i\theta }\sin \theta }{(i\sin \theta +\cos \theta {)}^2}\\ & =0\end{array}$$

因为 $f^{\prime }(\theta )=0$ ，所以 $f(\theta )$ 是一个常数。取$\theta =0$:

$$\begin{array}{rl}f(0)& =\frac{e^{i·0}}{i\sin 0+\cos 0}\\ & =\frac{1}{0+1}\\ & =1\end{array}$$

所以，$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$。
同时，也容易得到 $e^{i\theta }$ 和 $\cos \theta +i\sin \theta$ 都不等于0。
将 $f(\theta )$ 设为 $f(\theta )=\frac{i\sin \theta +\cos \theta }{e^i\theta }$ 是一样的。

证明二：函数幂级数展开

泰勒展开式和麦克劳林展开式的简单推导

将 $f(x)$ 展开为幂级数：

$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+a_3(x-x_0{)}^3+a_4(x-x_0{)}^4+a_5(x-x_0{)}^5+...+a_n(x-x_0{)}^n+...$$

对式子两边求导：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+4a_4(x-x_0{)}^3+...\\ f^{″}(x)& =2a_2+3·2a_3(x-x_0)+4·3(x-x_0{)}^2+5a_5(x-x_0{)}^4+...\\ f^{‴}(x)& =3·2a_3+4·3·2a_4(x-x_0)+5·4a_5(x-x_0{)}^3+...\\ ...\end{array}$$

令 $x=x_0$ ，计算 $a_0,a_1,a_3\dots .$ ：

$$\begin{array}{rl}f(x_0)=a_0& ,a_0=f(x_0)\\ f^{\prime }(x_0)=a_1& ,a_1=f^{\prime }(x_0)\\ f^{″}(x_0)=2a_2& ,a_2=\frac{f^{\prime }(x_0)}{2!}\\ f^{‴}(x_0)=3·2a_3& ,a_3=\frac{f^{‴}(x_0)}{3!}\\ ...\\ f^n(x_0)=n!a_n& ,a_n=\frac{f^n(x_0)}{n!}\end{array}$$

于是，

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n,x\in U(x_0)$$

这就是泰勒级数。它成立的充要条件是它的余项极限是 0：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n=0$$

取 $x_0=0$ ，有麦克劳林展开式：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n,x\in (-r,r)$$

推导欧拉公式

根据麦克劳林展开式，我们可以有：

$$\begin{array}{rl}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ e^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\end{array}$$

计算 $\sin x+\cos x$ ，得到：

$$\sin x+\cos x=1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+...$$

这与 $e^x$ 的区别在于符号上，随着 $x$ 的次数增加，符号的变化规律时 $+,-,-,+$ ，这正好符合虚数单位 $i$ 的符号变化规律。因此，考虑计算 $e^{ix}$ :

$$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+...\\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}...\\ & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ & +i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...)\\ & =\cos x+i\sin x\end{array}$$

应用：解方程 $\sin x=2$

其实就是想练习一下简单的 Latex 的公式编辑，这个直接放B站链接：解方程 $\sin x=2$