欧拉公式

$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ，当 $\theta=\pi$ 时，$e^{i\pi} + 1 =0$.

证明一：求导

设 $f(\theta)=\frac{e^i\theta}{i\sin\theta+\cos\theta}$ ,对 $ f(\theta)$ 求一阶导，

$\begin{aligned} f'(\theta)&=\frac{ie^{i\theta}(i\sin\theta+\cos\theta)-e^{i\theta}(i\cos\theta-\sin\theta)}{(i\sin\theta+\cos\theta)^{2}} \\ &=\frac{-e^{i\theta}\sin\theta+ie^{i\theta}\cos\theta-ie^{i\theta}\cos\theta+e^{i\theta}\sin\theta}{(i\sin\theta+\cos\theta)^{2}} \\ &=0\\ \end{aligned}$

因为 $f’(\theta)=0$ ，所以 $f(\theta)$ 是一个常数。取$\theta=0$:

$\begin{aligned} f(0)&=\frac{e^{i·0}}{i\sin0+\cos0}\\ &=\frac{1}{0+1}\\ &=1\\ \end{aligned}$

所以，$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。
同时，也容易得到 $e^{i\theta} $ 和 $ \cos\theta + i\sin\theta$ 都不等于0。
将 $f(\theta)$ 设为 $f(\theta)=\frac{i\sin\theta+\cos\theta}{e^i\theta}$ 是一样的。

证明二：函数幂级数展开

泰勒展开式和麦克劳林展开式的简单推导

将 $f(x)$ 展开为幂级数：

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+a_4(x-x_0)^4+a_5(x-x_0)^5+...+a_n(x-x_0)^n+...$

对式子两边求导：

$\begin{aligned} f'(x)&=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+4a_4(x-x_0)^3+...\\ f''(x)&=2a_2+3·2a_3(x-x_0)+4·3(x-x_0)^2+5a_5(x-x_0)^4+...\\ f'''(x)&=3·2a_3+4·3·2a_4(x-x_0)+5·4a_5(x-x_0)^3+...\\ ...\\ \end{aligned}$

令 $x=x_0$ ，计算 $a_0,a_1,a_3….$ ：

$\begin{aligned} f(x_0)=a_0 &,a_0=f(x_0)\\ f'(x_0)=a_1 &,a_1=f'(x_0)\\ f''(x_0)=2a_2 &,a_2=\frac{f'(x_0)}{2!}\\ f'''(x_0)=3·2a_3 &,a_3=\frac{f'''(x_0)}{3!}\\ ...\\ f^n(x_0)=n!a_n &,a_n=\frac{f^n(x_0)}{n!}\\ \end{aligned}$

于是，

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\in U(x_0)$

这就是泰勒级数。它成立的充要条件是它的余项极限是 0：

$\lim_{n\to \infty}R_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n= 0$

取 $x_0=0$ ，有麦克劳林展开式：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n ,x\in (-r,r)$

推导欧拉公式

根据麦克劳林展开式，我们可以有：

$\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... \end{aligned}$

计算 $\sin x+\cos x$ ，得到：

$\sin x+\cos x=1+x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+...$

这与 $e^x$ 的区别在于符号上，随着 $x$ 的次数增加，符号的变化规律时 $+,-,-,+$ ，这正好符合虚数单位 $i$ 的符号变化规律。因此，考虑计算 $e^{ix}$ :

$\begin{aligned} e^{ix}&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+...\\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{ix^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}...\\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-...\\ & +i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-...)\\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned}$

应用：解方程 $ \sin x=2 $

其实就是想练习一下简单的 Latex 的公式编辑，这个直接放B站链接：解方程 $ \sin x=2 $